3. 시계열 분석의 확률과정 및 정상성

1️⃣ 시계열 자료와 확률과정

1. 확률과정(Stochastic process)

 

① 시계열 자료

• 시간을 통해서 순차적으로 발생한 실측값

 

② 확률과정

• 시점 t에 대응되는 확률변수들의 집합

 

2. 정상성

① 정의 및 특징

•  정의  : 시계열의 확률적인 성질들이 시간의 흐름에 따라 불변
•  특징   
  • 뚜렷한 추세가 없음. 즉, 시계열의 평균이 시간 축에 평행
  • 시계열의 진폭(변동)이 시간의 흐름에 따라 일정
  • 시계열 자료의 과거와 미래의 상관관계가 시간의 흐름에 따라 일정

 

② 평균, 분산, 자기공분산

• 정상성은 평균, 분산, 자기공분산이 시점 t에 관계없이 일정
• 평균 μ 는 모든 시점에서 일정
• 분산 σ^2 는 모든 시점에서 일정
• 자기공분산이 시차(time lag,  k = t - s)에만 의존

 

③ 정상성을 갖는 시계열 자료 그림

• 추세를 갖지 않는다
• 변동(분산)이 증가하거나 감소하지 않는다.
• 일정한 형태의 자기상관성을 가진다.

 

2️⃣ 자기상관함수

1. 자기상관계수(AutoCorrelation Function : ACF)

• 일반적인 시계열 자료는  현재의 상태가 과거 및 미래의 상태와 밀접한 관계 를 갖고 있음
• 즉, 자기상관관계를 갖음.
•  자기상관계수  : 시간에 따른 상관 정도

• 성질

 

2. 표본자기상관함수(SACF)

• 시계열 자기상관계수

• 이론적인 성질에 의해 |p_hat| > 2 / n 이면  H_0 : p_k = 0  이 기각되어 Z_t 들은 시차  k 에서 자기상관관계가 존재

 

3. 부분자기상관계수(Partial Autocorrelation Coefficients, PACF)

 

• 자기상관과 부분자기상관

 

3️⃣ 백색잡음과정

1. 정상과정 : 백색잡음과정

• e_t들이 서로 독립이고 평균 0 , 분산 σ^2 을 갖는 확률변수라고 할때
  e_t가 백색잡음과정  WN(0, σ^2) 을 따름

정상확률과정 시계열그림

 

음의 상관관계가 강한 시계열

 

양의 상관관계가 강한 시계열

 

2. 비정상과정

① 절편이 없는 확률보행과정

• e_t가 백색잡음과정  WN(0, σ^2)  을 따르고, 위와 같이 정의되는 확률과정 {Z_t}를 확률보행과정이라 함

 

② 절편이 있는 확률보행과정