[인공지능 기초수학] #3. 벡터 with 인공지능, 파이썬

 

1. 의미

- 크기(magnitude)와 방향(direction)을 가진 물리량, 차원의 공간에 존재

- (대수적 정의) 수 또는 함수의 나열

- 보통 데이터의 묶음(tuple), 열과 행 존재

- 데이터 레코드 하나를 단독으로 벡터로 나타낼 때는 열 하나로 표시

 

2. 단위 벡터

- 같은 벡터라도 좌표가 다를 수 있다.

- 길이가 1인 벡터, 방향o, 크기 영향x

- 정규화(normalizing) : 벡터를 단위 형태로 변환하는 것

 

3. 벡터의 크기 = 길이 = norm

from scipy import linalg
linalg.norm(a) # norm

 

- L1 : 컴퓨터 비전에서 주로 씀 |x| = a+b+c

- L2 : K-평균 클러스터링과 K-최근접 |x| = sqrt(a+b+c)

linalg.norm(a, ord = 1)
linalg.norm(a, ord = 2)

 

 

4. 위치 벡터

- 원점이 시작점에 있지 않은 벡터를 원점이 시작점인 벡터들로 표현

 

5. 영 벡터

- 모든 성분이 0

- 필요성 : 벡터 공간 내에 존재하는 모든 벡터는 선형 결합(linear combination)으로 만들 수 있어야 함.

np.zeros()

 

6. 인공지능에서 벡터의 의미

- 숫자의 집합 및 배열

- 특성 벡터(feature vector)

- 필요성 : 1) 인공신경망에서 입력 데이터는 숫자 데이터만 가능

2) 유사 데이터를 분류하는 데 사용(clustering)

 

7. 벡터의 내적(dop product, inner product)

- 벡터를 숫자처럼 곱하는 것. 임의의 두 벡터에서 스칼라 값을 생성

- 한 벡터의 크기를 구하거나 두 벡터 사이의 거리를 측정

 

1) 인공지능에서의 내적

- 데이터 간 유사도를 측정할 때, 그 기준은 벡터 간 거리를 이용 => 내적 사용

- 예) k-최근접 이웃 역시 데이터 간 간 거리를 측정, 가장 가까운 벡터끼리 그룹 형성하여 데이터 분류

np.dot(A, B)

 

 

8. 벡터의 외적(outer product)

- 3차원 공간에 있는 벡터 간 연산(벡터곱)

- 방향o, 크기o

np.cross(a,b)

 

 

9. 직교 벡터(orthogonal vector) -> 알고리즘 원리 이해에 필요

- 두 벡터 사이의 각도가 90도

- SVM : 주어진 데이터가 어떤 범주에 속할지 판별하는 분류 모델로, 패턴 인식이나 자료 분석에 주로 사용

 

10. 벡터 거리(distance)

- 추천 시스템 : 아이템이나 사용자 간 유사성 개념을 기반으로 동작

- 문서의 유사도 : 자연어 처리 분야, 검색 엔진이나 클러스터링 모델에서 많이 사용

 

① 유클리드 거리(Euclidean distance) ***

- 두 벡터 간 직선 거리

 

 

from scipy.spatial import distance
distance.euclidean(p1, p2)

 

 

② 맨해튼 거리(manhattan distance)

- 사각형 격자로 된 지도에서 출발점부터 도착점까지 가로지르지 않고 갈 수 있는 최단 거리를 구하는 공식

d(x, y) = |x1 - x2| + |y1 - y2|

 

def manhattan(x, y):
    return sum(abs(a-b) for a,b in zip(x,y))

 

 

③ 코사인 유사도(cosine similarity)

- 두 벡터의 방향이 같을수록 벡터가 비슷하다고 간주하여 두 벡터 간의 각인 코사인 값을 말함

- 각이 작을 수록 유사도가 높고, 클수록 유사도는 낮다.

 

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Last Updated. 2025.06.18

🔖 참고 자료

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https://thebook.io/080246/part03/ch10/unit18/03/